جزوه پایداری سازه ها
دانلود فایل
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
فرض کنید G یک دامنه باز در R n با بسته شدن فشرده و مرز صاف ( n -1) بعدی باشد. فضای X 1 ( G ) را در نظر بگیرید که شامل محدودیت هایی برای G از میدان های برداری C 1 در R n است که عرضی به مرز G هستند جزوه پایداری سازه ها و به سمت داخل هستند. این فضا به روش معمول با متریک C 1 وقف شده است . یک میدان برداری F ∈ X 1 ( G ) است ضعیف ساختاری پایدار اگر به هر اختلال به اندازه کافی کوچک F 1 ، جریان مربوط می توپولوژیکی معادل در G : وجود دارد وجود دارد همسانریختی ساعت : G → G که تبدیل مدار گرا از F به مدار گرا از F 1 . اگر علاوه بر این، برای هر ε > 0 همسانریختی ساعت ممکن است انتخاب شود C 0 ε -close به نقشه هویت که F 1 متعلق به یک محله مناسب Fبسته به ε , سپس F از نظر ساختاری (به شدت) پایدار نامیده می شود . این تعاریف به روشی ساده در مورد منیفولدهای صاف فشرده n بعدی با مرز گسترش می یابد. آندرونوف و پونتریاگین در ابتدا این دارایی قوی را در نظر گرفتند. تعاریف مشابهی را می توان برای دیفرمورفیسم ها به جای میدان های برداری و جریان ها ارائه کرد: در این تنظیم، همومورفیسم h باید یک مزدوج توپولوژیکی باشد.
توجه به این نکته مهم است که هم ارزی توپولوژیکی با از دست دادن جزوه پایداری سازه ها همواری تحقق می یابد: نقشه h به طور کلی نمی تواند یک دیفئومورفیسم باشد. علاوه بر این، اگرچه هم ارزی توپولوژیکی به مسیرهای جهت دار احترام می گذارد، برخلاف مزدوج توپولوژیکی، با زمان سازگار نیست. بنابراین مفهوم مربوط به هم ارزی توپولوژیکی تضعیف قابل توجهی از ساده لوحانه است C 1 conjugacy از زمینه های بردار. بدون این محدودیت ها، هیچ سیستم زمانی پیوسته با نقاط ثابت یا مدارهای تناوبی نمی توانست از نظر ساختاری پایدار باشد. سیستم های ساختاری ضعیف یک مجموعه باز را در X 1 ( G ) تشکیل می دهند، اما مشخص نیست که آیا همان ویژگی در حالت قوی وجود دارد یا خیر.
مثالها
شرایط لازم و کافی برای پایداری ساختاری میدان های برداری C 1 بر روی جزوه پایداری سازه ها دیسک واحد D که عرضی به مرز و روی دو کره S 2 هستند در مقاله بنیادی آندرونوف و پونتریاگین تعیین شده است. با توجه به معیار آندرونوف-پونتریاگین ، چنین میدان‌هایی از نظر ساختاری پایدار هستند اگر و تنها در صورتی که دارای نقاط منفرد ( حالت‌های تعادل ) و مسیرهای تناوبی ( چرخه‌های حدی) باشند که همگی غیر زوال (هذلولی) باشند و نداشته باشند. اتصالات زین به زین علاوه بر این، مجموعه غیر سرگردانسیستم دقیقاً ترکیب نقاط منفرد و مدارهای تناوبی است. به طور خاص، میدان‌های برداری پایدار ساختاری در دو بعد نمی‌توانند مسیرهای همکلینیک جزوه پایداری سازه ها داشته باشند ، که به‌شدت دینامیک را پیچیده می‌کند، همانطور که هانری پوانکاره کشف کرد .
پایداری ساختاری میدان‌های بردار صاف غیر منفرد روی چنبره را می‌توان با استفاده از تئوری ایجاد شده توسط پوانکاره و آرنو دنژوی بررسی کرد . با استفاده از نقشه عود پوانکاره ، سوال به تعیین پایداری ساختاری دیفرمورفیسم های دایره خلاصه می شود . به عنوان یک نتیجه از قضیه Denjoy به ، جهت حفظ C 2 diffeomorphism فراهم آورده است ƒ از دایره ساختاری پایدار اگر و تنها اگر آن تعداد چرخش عقلانی است، ρ ( ƒ ) = P / Q ، و مدار تناوبی، که همه دوره دارندQ ، هستند غیر منحط است: ژاکوبین از ƒ س در نقاط جزوه پایداری سازه ها مختلف دوره از ۱ است، و نقشه دایره .
دیمیتری آنوسوف کشف کرد که اتومورفیسم های هذلولی چنبره، مانند نقشه گربه آرنولد ، از نظر ساختاری پایدار هستند. او سپس این بیانیه را به طبقه وسیع تری از سیستم ها تعمیم داد، که از آن زمان به بعد آنوسوف دیفئومورفیسم ها و جریان های آنوسوف نامیده می شوند. یکی از نمونه های معروف جریان Anosov توسط جریان ژئودزیکی بر روی سطحی با انحنای منفی ثابت ارائه شده است، cf Hadamard بیلیارد .
تاریخ و اهمیت
پایداری ساختاری سیستم توجیهی برای بکارگیری تئوری کیفی سیستم های دینامیکی برای تحلیل سیستم های فیزیکی بتنی فراهم می کند. ایده چنین تحلیل کیفی به کار هانری پوانکاره در مورد مسئله سه جسم در مکانیک سماوی برمی گردد . تقریباً در همان زمان، الکساندر لیاپانوفپایداری اغتشاشات کوچک یک سیستم فردی را به دقت بررسی کرده است. در عمل، قانون تکامل سیستم (یعنی معادلات دیفرانسیل) به دلیل وجود برهمکنش های کوچک مختلف هرگز دقیقاً شناخته نمی شود. بنابراین، بسیار مهم است جزوه پایداری سازه ها که بدانیم ویژگی های اساسی دینامیک برای هر اختلال کوچک سیستم “مدل”، که تکامل آن توسط یک قانون فیزیکی شناخته شده خاص کنترل می شود، یکسان است. تجزیه و تحلیل کیفی توسط جورج بیرخوف در دهه ۱۹۲۰ بیشتر توسعه یافت ، اما اولین بار با معرفی مفهوم سیستم خشن توسط آندرونوف و پونتریاگین در سال ۱۹۳۷ رسمیت یافت. این بلافاصله توسط آندرونوف، ویت و خایکین برای تجزیه و تحلیل سیستم های فیزیکی با نوسانات اعمال شد. اصطلاح “پایداری ساختاری” به دلیلSolomon Lefschetz ، که بر ترجمه تک نگاری آنها به انگلیسی نظارت داشت. جزوه پایداری سازه ها ایده های پایداری سازه توسط استفن اسمیل و مدرسه اش در دهه ۱۹۶۰ در زمینه دینامیک هایپربولیک مطرح شد. پیش از این، مارستون مورس و هاسلر ویتنی شروع کردند و رنه تام یک نظریه موازی پایداری برای نقشه‌های قابل تمایز ایجاد کردند، که بخش کلیدی نظریه تکینگی را تشکیل می‌دهد . تام کاربردهای این نظریه را در سیستم های بیولوژیکی پیش بینی کرد. اسمیل و تام هر دو در تماس مستقیم با مائوریسیو پیکسوتو ، که قضیه پیکسوتو را در اواخر دهه ۱۹۵۰ توسعه داد، کار کردند.
هنگامی که اسمیل شروع به توسعه نظریه سیستم های دینامیکی هذلولی کرد،جزوه پایداری سازه ها  امیدوار بود که سیستم های ساختاری پایدار “معمولی” باشند. این می تواند با وضعیت در ابعاد کم سازگار باشد: بعد دو برای جریان ها و بعد یک برای دیفرمورفیسم ها. با این حال، او به زودی نمونه‌هایی از میدان‌های برداری را در منیفولدهای با ابعاد بالاتر یافت که نمی‌توان آن‌ها را با یک اغتشاش کوچک دلخواه از نظر ساختاری پایدار کرد (چنین نمونه‌هایی بعداً روی منیفولدهای بعد سه ساخته شدند). این بدان معنی است جزوه پایداری سازه ها که در ابعاد بالاتر، سیستم های ساختاری پایدار متراکم نیستند. علاوه بر این، یک سیستم ساختاری پایدار ممکن است دارای مسیرهای هموکلینیک عرضی مدارهای بسته زینی هذلولی و بی نهایت مدارهای دوره ای باشد، حتی اگر فضای فاز فشرده باشد. نزدیکترین آنالوگ با ابعاد بالاتر سیستم های ساختاری پایدار که توسط آندرونوف و پونتریاگین در نظر گرفته شده است توسط سیستم های مورس-اسمال ارائه شده است .جزوه پایداری سازه ها

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *